윷이 균일한 나무 재질로 만들어져 있고,
양끝과 중간의 둘레가 같은 단순한 원통의 측면을 깎은 형태이며,
표면에 아무런 글자나 무늬가 새겨져 있지 않은 것으로 근사하여 이상적인 규격을 계산해 보자.
(사실 양 끝보다는 중간 둘레가 살짝 더 크고 주로 표면에 뭔가가 새겨져 있다.)
윷의 단면을 보면 다음과 같이 ... 반원보다는 조금 크게 되어 있음을 알 수 있다.
여기서 점선은 윷의 무게중심과 땅바닥을 수직으로 통과한다.
맨 아래의 꼭지점을 중심으로 윷이 좌로 기울면 뒤집히고, 우로 기울면 바로 서게 된다.
단면의 넓이는 \[ A = \frac{1}{2} R^2 ( 2 \pi - 2 \arccos \frac{r}{R} ) + r \sqrt{R^2 - r^2} \; , \] 이 중에서 점선의 좌편에 있는 부분의 넓이는 \[ R^2 (\alpha + \arcsin \frac{r}{R}) - \frac{1}{2} R^2 \sin 2(\alpha + \arcsin \frac{r}{R}) \] 이며, 여기서 \(\alpha\)는 곧은 면과 바닥이 이루는 각도이다. 윷이 바로 설 확률은 \(p=\alpha / \pi\), 뒤집힐 확률은 \(1-p\)이다.
\(p\)의 값이 따로 정해지지 않은 시점에서는 놀이에서 "윷"과 "모" 발생 확률은 이항분포에 따라 각각 \(\dbinom{4}{0} (1-p)^4\)과 \(\dbinom{4}{4} p^4\)이다. 놀이에서 말이 한 차례에 나아가게 되는 칸 수의 기대치는 \[ E[X] = \underbrace{(-1)}_\text{뒷도} \times p^3 (1-p) + \underbrace{1}_\text{도} \times 3 p^3 (1-p) \\ \qquad \qquad + \underbrace{2}_\text{개} \times \dbinom{4}{2} p^2 (1-p)^2 + \underbrace{3}_\text{걸} \times \dbinom{4}{1} p (1-p)^3 \\ \qquad + \underbrace{4}_\text{윷} \times \dbinom{4}{0} (1-p)^4 + \underbrace{5}_\text{모} \times \dbinom{4}{4} p^4 \] 이 된다.
"윷"과 "모"에 해당하는 마지막 두 항을 같게 하면 "윷"과 "모"로 인해 나아갈 칸 수의 기대치는 같게 된다. 이를 기준으로 \[ 4 (1-p)^4 = 5 p^4 \] 등식을 풀면 \(p = \cfrac{1}{1 + (\frac{5}{4})^{1/4}}\)가 나오고, 따라서 \(\alpha = \cfrac{\pi}{1 + (\frac{5}{4})^{1/4}}\)가 나온다.
처음으로 돌아가 이 값을 두 번째 식에 대입하고 첫 번째 식의 절반, 즉 \( A/2 \)와 같게 한 후 수치적으로 풀면 \[ r \doteq 0.2367767287 R \] 이 나온다. \(r/R\)의 값이 작으면 작을수록 "모"가 나올 확률이 높아진다.
\(r\)이 위의 값보다 클 경우에는 놀이에서 평균적으로 "모" 덕을 보는 일은 없게 된다.
다음의 도표대로 \(p\) 값을 조절하면 \(E[X]\), 즉 윷놀이의 진행 속도가 조절된다.
\(E[X]\)의 최저치는 \(p \doteq 0.60481628\) (\(E[X] \doteq 2.07492946\)), 다시 말해 \(r \doteq 0.47518977 R\)에 있다. 다시 말해, \(r\)을 어떻게 깎더라도 평균적으로 2칸보다는 많이 움직이게 되는 것이다.
\(p\rightarrow 0\) (\(r\rightarrow R\), \(E[X]\rightarrow 4\))의 극한에서는 "윷"만 나오고,
\(p\rightarrow 1\) (\(r\rightarrow -R\), \(E[X]\rightarrow 5\))의 극한에서는 "모"만 나오기 때문에 진행이 빠른 윷놀이를 하게 된다.
\(r\)을 음수인 그대로 대입하도록 한다. 최저치는 \(r=-R\)이다. \[ A = R^2 \arccos \frac{|r|}{R} - |r| \sqrt{R^2 - r^2} \] 점선 좌편 부분의 넓이는 그대로이다.
양끝과 중간의 둘레가 같은 단순한 원통의 측면을 깎은 형태이며,
표면에 아무런 글자나 무늬가 새겨져 있지 않은 것으로 근사하여 이상적인 규격을 계산해 보자.
(사실 양 끝보다는 중간 둘레가 살짝 더 크고 주로 표면에 뭔가가 새겨져 있다.)
윷의 단면을 보면 다음과 같이 ... 반원보다는 조금 크게 되어 있음을 알 수 있다.
여기서 점선은 윷의 무게중심과 땅바닥을 수직으로 통과한다.
맨 아래의 꼭지점을 중심으로 윷이 좌로 기울면 뒤집히고, 우로 기울면 바로 서게 된다.
단면의 넓이는 \[ A = \frac{1}{2} R^2 ( 2 \pi - 2 \arccos \frac{r}{R} ) + r \sqrt{R^2 - r^2} \; , \] 이 중에서 점선의 좌편에 있는 부분의 넓이는 \[ R^2 (\alpha + \arcsin \frac{r}{R}) - \frac{1}{2} R^2 \sin 2(\alpha + \arcsin \frac{r}{R}) \] 이며, 여기서 \(\alpha\)는 곧은 면과 바닥이 이루는 각도이다. 윷이 바로 설 확률은 \(p=\alpha / \pi\), 뒤집힐 확률은 \(1-p\)이다.
\(p\)의 값이 따로 정해지지 않은 시점에서는 놀이에서 "윷"과 "모" 발생 확률은 이항분포에 따라 각각 \(\dbinom{4}{0} (1-p)^4\)과 \(\dbinom{4}{4} p^4\)이다. 놀이에서 말이 한 차례에 나아가게 되는 칸 수의 기대치는 \[ E[X] = \underbrace{(-1)}_\text{뒷도} \times p^3 (1-p) + \underbrace{1}_\text{도} \times 3 p^3 (1-p) \\ \qquad \qquad + \underbrace{2}_\text{개} \times \dbinom{4}{2} p^2 (1-p)^2 + \underbrace{3}_\text{걸} \times \dbinom{4}{1} p (1-p)^3 \\ \qquad + \underbrace{4}_\text{윷} \times \dbinom{4}{0} (1-p)^4 + \underbrace{5}_\text{모} \times \dbinom{4}{4} p^4 \] 이 된다.
Case A: 윷과 모의 균형
여기서는 "윷"과 "모"만을 비교하기로 한다.
"윷"과 "모"에 해당하는 마지막 두 항을 같게 하면 "윷"과 "모"로 인해 나아갈 칸 수의 기대치는 같게 된다. 이를 기준으로 \[ 4 (1-p)^4 = 5 p^4 \] 등식을 풀면 \(p = \cfrac{1}{1 + (\frac{5}{4})^{1/4}}\)가 나오고, 따라서 \(\alpha = \cfrac{\pi}{1 + (\frac{5}{4})^{1/4}}\)가 나온다.
처음으로 돌아가 이 값을 두 번째 식에 대입하고 첫 번째 식의 절반, 즉 \( A/2 \)와 같게 한 후 수치적으로 풀면 \[ r \doteq 0.2367767287 R \] 이 나온다. \(r/R\)의 값이 작으면 작을수록 "모"가 나올 확률이 높아진다.
\(r\)이 위의 값보다 클 경우에는 놀이에서 평균적으로 "모" 덕을 보는 일은 없게 된다.
Case B: 진행 속도 조절
한편, 기대치 \(E[X]\)를 먼저 정하고 이에 필요한 \(r\)을 계산할 수도 있다.다음의 도표대로 \(p\) 값을 조절하면 \(E[X]\), 즉 윷놀이의 진행 속도가 조절된다.
\(p\rightarrow 0\) (\(r\rightarrow R\), \(E[X]\rightarrow 4\))의 극한에서는 "윷"만 나오고,
\(p\rightarrow 1\) (\(r\rightarrow -R\), \(E[X]\rightarrow 5\))의 극한에서는 "모"만 나오기 때문에 진행이 빠른 윷놀이를 하게 된다.
Case C: r < 0
윷을 반원 형태보다 더 많이 깎은 경우에는 다음 공식이 이용된다.\(r\)을 음수인 그대로 대입하도록 한다. 최저치는 \(r=-R\)이다. \[ A = R^2 \arccos \frac{|r|}{R} - |r| \sqrt{R^2 - r^2} \] 점선 좌편 부분의 넓이는 그대로이다.
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