이상적인 윷의 규격, 1st order correction

윷이 균일한 나무 재질로 만들어져 있고,
양끝과 중간의 둘레가 같은 단순한 원통의 측면을 깎은 형태이며,
표면에 아무런 글자나 무늬가 새겨져 있지 않은 것으로 근사하여 이상적인 규격을 계산해 보자.
(사실 양 끝보다는 중간 둘레가 살짝 더 크고 주로 표면에 뭔가가 새겨져 있다.)

윷의 단면을 보면 다음과 같이 ... 반원보다는 조금 크게 되어 있음을 알 수 있다.

여기서 점선은 윷의 무게중심과 땅바닥을 수직으로 통과한다.
맨 아래의 꼭지점을 중심으로 윷이 좌로 기울면 뒤집히고, 우로 기울면 바로 서게 된다.

단면의 넓이는 $$A = \frac{1}{2} R^2 ( 2 \pi - 2 \arccos \frac{r}{R} ) + r \sqrt{R^2 - r^2} \; ,$$ 이 중에서 점선의 좌편에 있는 부분의 넓이는 $$R^2 (\alpha + \arcsin \frac{r}{R}) - \frac{1}{2} R^2 \sin 2(\alpha + \arcsin \frac{r}{R})$$ 이며, 여기서 $\alpha$는 곧은 면과 바닥이 이루는 각도이다. 윷이 바로 설 확률은 $p=\alpha / \pi$, 뒤집힐 확률은 $1-p$이다.
$p$의 값이 따로 정해지지 않은 시점에서는 놀이에서 "윷"과 "모" 발생 확률은 이항분포에 따라 각각 $\dbinom{4}{0} (1-p)^4$과 $\dbinom{4}{4} p^4$이다. 놀이에서 말이 한 차례에 나아가게 되는 칸 수의 기대치는 $$E[X] = \underbrace{(-1)}_\text{뒷도} \times p^3 (1-p) + \underbrace{1}_\text{도} \times 3 p^3 (1-p) \\ \qquad \qquad + \underbrace{2}_\text{개} \times \dbinom{4}{2} p^2 (1-p)^2 + \underbrace{3}_\text{걸} \times \dbinom{4}{1} p (1-p)^3 \\ \qquad + \underbrace{4}_\text{윷} \times \dbinom{4}{0} (1-p)^4 + \underbrace{5}_\text{모} \times \dbinom{4}{4} p^4$$ 이 된다.

Case A: 윷과 모의 균형

여기서는 "윷"과 "모"만을 비교하기로 한다.
"윷"과 "모"에 해당하는 마지막 두 항을 같게 하면 "윷"과 "모"로 인해 나아갈 칸 수의 기대치는 같게 된다. 이를 기준으로 $$4 (1-p)^4 = 5 p^4$$ 등식을 풀면 $p = \cfrac{1}{1 + (\frac{5}{4})^{1/4}}$가 나오고, 따라서 $\alpha = \cfrac{\pi}{1 + (\frac{5}{4})^{1/4}}$가 나온다.
처음으로 돌아가 이 값을 두 번째 식에 대입하고 첫 번째 식의 절반, 즉 $A/2$와 같게 한 후 수치적으로 풀면 $$r \doteq 0.2367767287 R$$ 이 나온다. $r/R$의 값이 작으면 작을수록 "모"가 나올 확률이 높아진다.
$r$이 위의 값보다 클 경우에는 놀이에서 평균적으로 "모" 덕을 보는 일은 없게 된다.

Case B: 진행 속도 조절

한편, 기대치 $E[X]$를 먼저 정하고 이에 필요한 $r$을 계산할 수도 있다.
다음의 도표대로 $p$ 값을 조절하면 $E[X]$, 즉 윷놀이의 진행 속도가 조절된다.

$E[X]$의 최저치는 $p \doteq 0.60481628$ ($E[X] \doteq 2.07492946$), 다시 말해 $r \doteq 0.47518977 R$에 있다. 다시 말해, $r$을 어떻게 깎더라도 평균적으로 2칸보다는 많이 움직이게 되는 것이다.
$p\rightarrow 0$ ($r\rightarrow R$, $E[X]\rightarrow 4$)의 극한에서는 "윷"만 나오고,
$p\rightarrow 1$ ($r\rightarrow -R$, $E[X]\rightarrow 5$)의 극한에서는 "모"만 나오기 때문에 진행이 빠른 윷놀이를 하게 된다.

Case C: r < 0

윷을 반원 형태보다 더 많이 깎은 경우에는 다음 공식이 이용된다.
$r$을 음수인 그대로 대입하도록 한다. 최저치는 $r=-R$이다. $$A = R^2 \arccos \frac{|r|}{R} - |r| \sqrt{R^2 - r^2}$$ 점선 좌편 부분의 넓이는 그대로이다.